【MC技巧系列】如何快速判斷一元二次方程(Quadratics Equation)的所有Coefficients是否大於0

相信各位準DSE考生對以上題型都一定不陌生吧！今天的文章要介紹的就是如何秒速解決這類型的題目，讓同學們有更多時間花在更困難的題目上。事不宜遲，我們開始吧！

目錄：
1. 懶人包
2. 原理
3. 練習

 

1. 懶人包

(I) a 大於 0 ?

若這條方程是向上展開(Open Upwards)的話，則 a 大於 0
反之，若這條方程是向下展開(Open Downwards)的話，則 a 小於 0

(II) b 大於 0 ?

我相信這是最多同學好奇的地方

若方程在 y axis 的 斜率(Slope) 大於0，則 b 大於 0 (如上圖)
反之，若方程在 y axis 的 斜率(Slope) 小於0，則 b 小於 0

(III) c 大於 0 ?

若方程的 y-intercept 大於0，則 c 大於0
若方程的 y-intercept 小於0，則 c 小於0

2. 原理

(I) a 大於 0 ?

我們試想想當 x 分別趨向正無限和負無限時， y = ax²+bx+c 會趨向甚麼？當 x 趨向正無限時，x² 和 x 都趨向正無限，但是 x² 的影響力覆蓋(Dominate) x。當 x 趨向負無限時，x² 趨向正無限但 x 趨向負無限，不過 x² 的影響力覆蓋(Dominate)了 x 。所以，決定 y 是正數還是負數還是主要取決於 ax²。由於 x² 永遠是正數，所以決定 y 是正數還是負數取決於 x² 的係數 (Coefficient) : a 。

有修讀 M2 的同學那就更容易理解了，一條方程是向上展開(Open Upwards)還是向下展開(Open Downwards) 是取決於以下公式：

若d²y/dx² 大於 0，則向上展開(Open Upwards)
若d²y/dx² 小於 0，則向下展開(Open Downwards)
 
結論：
a 大於 0 的時候，x 趨向正負無限時，y 都是趨向正無限，所以 y = ax² + bx+c 會是向上展開(Open Upwards)
a 小於 0 的時候，x 趨向正負無限時，y 都是趨向負無限，所以 y = ax² + bx+c 會是向下展開(Open Downwards)

(II) b 大於 0 ?

在此容許我以M2用的方法去解釋，y = ax² + bx+c 的斜率(Slope) 是由以下公式決定:

當我們Sub x = 0 的時候，代表了我們想找y = ax² + bx+c在 y-intercept 的斜率(Slope) ，而Sub x = 0 後，上述方程會得出b。因此，y-intercept 的斜率(Slope) 等於b。

若同學們想更深入了解當中原理的話，可參考以下連結： 
Introduction to limits
Using limit to find the slope of quadratic equation

在這裡稍微補充一下上述連結，尋找方程的斜率都是用以下公式：

只是 x₁ 及 x₂ 相當接近，導致到 x_{2 -} x₁ 趨向 0

結論：
方程在 y axis 的 斜率(Slope) 大於0，則 b 大於 0
方程在 y axis 的 斜率(Slope) 小於0，則 b 小於 0

(III) c 大於 0 ?

這是最容易的部分，只要我們Sub x = 0，便能得出 y = c ，因此，c 的數值為 y = ax² + bx+c的 y-intercept。

3. 練習

試判斷以下的方程(y = ax² + bx+c)的a、b、c 是大於 0 還是小於 0 ?

 Ans: a > 0、b > 0、c < 0

Ans: a < 0、b > 0、c > 0

Ans: a > 0、b < 0、c > 0