部分分式分解(Partial Fraction) 的捷徑 - Cover Up Rule

在開始今日的介紹前，讓我們先看看以下的題目：

我相信大部分同學都會覺得這類題目很麻煩，因為尋找A, B, C這些constants相當浪費時間，而今天要介紹的Cover Up Rule就是提供一個同學們快速解決Partial Fraction的方法。

目錄：
1. 分母的不同情況
2. 原理
3. 練習

1. 分母的不同情況

Case 1: 分母為不重複因式 (Distinct Factors)

這樣表達好像有點難懂！不要緊，我們換另一種方法去理解：顧名思義，Cover Up Rule 就是透過遮蓋一部份 因式 (Factor) 以計算A、B、C 的數值。

(I)我們先當A, B, C為原來的分數，以A作例子

(II)然後遮蓋對應A的 因式 (Factor)，即 (x - a)

(III)最後把 a 代入 x 中，便能計算A的數值

(IV)重複以上的步驟便能找到B、C的數值

例子：

我們嘗試透過Cover Up Rule去解題


(I)這次我們一樣計算A，我們先當A為原來的分數

(II)然後遮蓋對應A的 因式 (Factor)，即 (x + 1)

(III)最後把 -1 代入 x 中，便能計算A的數值為 0.5，再以同樣的方法計算B、C的數值。

Case 2: 分母為重複因式 (Repeated Factors)

 





這類分數的Partial fraction 一類來說有兩種，分別是

而我們則會討論前者的做法
首先，分母最高次方(Highest Degree) 的因式(Factors)可以用Case 1提到的方法去計算，我們會得出 B = 1、C = 1

接著，我們把這條等式乘 (x - 1)²(x - 2)² 後，得出

我們考慮Constant 及 x³ 的coefficients，得出：

我相信同學們對計算聯立方程(Simultaneous Equation)也不陌生吧，最後我們將得出A = 2、C = -2 

有同學可能有兩個問題：

一，為甚麼A、C的方法不能用Case 1提到的方法去計算，只有最高次方(Highest Degree) 的因式(Factors)可以用Case 1提到的方法去計算，在原理的部份我會加以解釋。

二，我們到底是甚麼原因用x³以及Constant的coefficients去設立聯立方程(Simultaneous Equation)呢？難道就不能透過x¹以及x²的coefficients去解題嗎？答案是可以的，只是會比較浪費時間。





用上剛剛的例子就可以知道要找x¹以及x²的coefficients是一件多麼麻煩的事，計算Constant 及 x³ 的coefficients卻節省了不少時間，所以別浪費時間在這些地方。

  2. 原理

我們可以發現，當我們sub x = a 的時候，後面兩個多項式(Polynomials)會變成0。因此Cover Up Rule的原理就是希望透過把 x 代入不同數值，盡可能的簡化公式

我們分別把a、b、c代入 x 就能得到





不過我們今天要考慮的重點是剛才上文提到：
Case 2中為甚麼只有最高次方(Highest Degree) 的因式(Factors)可以用Cover Up Rule去計算，而其他部份不行。

我們看看以下公式：







以 A 作例子，根據以上的方法，若要找A的數值就應該要 Sub x = a。但是代入後，我們就會發現對應 A 的多項式在Sub x = a變成 0 了！！！研究一下就會發現只有最高次方(Highest Degree) 的因式(Factors)可以用Cover Up Rule去計算，而其他部份不行。

3. 練習

Ans: A = 4、B = -1

Ans: A = 3、B = 2、C = 1

(Hints: Let u =x² )
Ans: A = 4、B = -1 

若同學們想更了解Cover Up Rule、做更多練習、接觸更多相關題型，可前往以下連結：
Cover Up Rule Exercises