【MC技巧系列】如何快速判斷一點的坐標在圓形的外面還是裡面？(lie outside or inside the circle)

同學們不時也會看見一些DSE類型的題目是關於判斷一點的坐標是在一個圓形的外面還是裡面，最正解當然是：
1. 先找圓心的坐標
2. 再找圓形的半徑
3. 再計算圓心與那一點的距離
4. 最後比較它們的長度

這個方法雖然直接，但是十分慢，而我們今天要探討的是：到底有沒有更快的方法去判斷一點的坐標是在一個圓形的外面還是裡面。

目錄：
1. 懶人包
2. 原理
3. 練習

1. 懶人包

設圓形的方程為 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 及 一點的坐標為 ( x₁ , y₁ ), Sub ( x₁ , y₁ ) into x² + y² + Dx + Ey + F：

Case 1: 若 x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F > 0，則那點的坐標是在圓形的外面

Case 2: 若 x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0，則那點的坐標是在圓形的線上面

Case 3: 若 x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F < 0，則那點的坐標是在圓形的裡面

2. 原理

首先，設( h , k ) 為圓心的坐標，我們有

一番運算後

設D = - 2h、E = - 2k、F = h² + k² - r²，我們得出

接著，我們再看看下圖：

同學們應該可以看到 r₁² = (x₁ - h)² + (y₁ - k)²，想知道一點的坐標是否在圓形外面，我們需要判斷 r₁ 是否大於 r，這樣便會出現以下三種情況：

(I) Case 1: r₁ > r (點在圓形外面）

(II) Case 2: r₁ = r (點在圓形的線上)

(III) Case 3: r₁ < r (點在圓形裡面)

3. 練習

(i) 設圓形的方程為 x² + y²  - 3x + 5y - 20 = 0 及 A點的坐標為 ( 0 , 0 )，判斷A點在圓形的外面／裡面／線上面。
Ans: 裡面

(ii) 設圓形的方程為 x² + y²  + 6x + 5y + 14 = 0 及 A點的坐標為 ( 2 , -2 )，判斷A點在圓形的外面／裡面／線上面。
Ans: 外面

(iii) 設圓形的方程為 x² + y²  - 4x + 4y - 24 = 0 及 A點的坐標為 ( -2 , 2 )，判斷A點在圓形的外面／裡面／線上面。
Ans: 線上面