為甚麼ASS不是全等三角形(Congruent Triangle)的其中一個Reason

同學們經常都會聽到教科書或老師說:「ASS不是全等三角形的Reason，千萬別用﹗﹗」但同學們又有沒有想過，為甚麼不是﹖今天站主會從兩個方向告訴大家為甚麼AAS不是全等三角形的Reason


同學們首先可參考上一篇文章 全等三角形(Congruent Triangle)，上回提到如果一個三角形是全等的話，則同學們用它的已有資訊再畫一個三角形，永遠都會畫出同一個三角形。既然ASS不是全等三角形的Reason，代表的就是﹕「如果我們已知一個三角形的其中二條邊(SS)，以及非夾角的另一隻角(A)，我們有機會畫出一個不同的三角形。」

1. 圖形法

我們以上圖的三角形為例，它的二條邊分別為10cm、6cm，另一隻角為30^o，而根據線與角的位置，我們知道它是一個ASS(or SSA)的三角形，接下來我們要做的，就是嘗試以已有資訊重新畫一個三角形，看看是不是和原來的一樣

我們以這A點作為畫這個三角形起始的地方

這兩條虛線分別代表剩下兩點B、C的軌跡(Locus)，只要B、C在這兩條軌跡上，Angle BAC就必然是30^o
因此，我們完成了ASS的第一個A

接下來，我們固定其中一條線的長度為10cm，便會得出以上的圖
因此，我們已完成了ASS中的第一個S了

我們設圓形的圓心為B點，半徑為6cm(最後一個S)，這樣做的目的是:只有C點在圓形的線上時，BC的長度才會等於6cm，才符合ASS的第二個S 不過同學們別忘記，我們當初也為C點設立了另一個條件，就是C點要在原來的虛線之上(為的是∠BAC是30^o)
因此，我們發現C點可能出現的地方有兩個
故此，我們可以畫出符合條件的三角形也有兩個

所以，我們在已知「一個三角形的其中二條邊(SS)，以及非夾角的另一隻角(A)」的情況下，畫出了另一個不同樣子的三角形
因此，AAS 並不是全等三角形的 Reason

2. 計算法

若我們使用Sine Formula，則會出現以下的等式:
圖:(sin ∠BAC / BC) = sin ∠BCA / AB
稍微計算一下，我們得到:
圖:sin ∠BCA = 5/6
故此，∠BCA 有兩個答案，分別為 56.4^o 及 123.6^o
因此也會得出兩個三角形，所以 ASS 並不是全等三角形的 Reason